Modelowanie statystyczne – co to jest i jakie ma zastosowanie?

Modelowanie statystyczne jest współcześnie fundamentem analizy i interpretacji złożonych zbiorów danych. Dzięki niemu naukowcy i analitycy biznesowi mogą prognozować trendy i podejmować lepsze decyzje. Jak łączy ono teorię matematyczną z praktycznymi zastosowaniami?

Z tego artykułu dowiesz się m.in.:

• Czym jest modelowanie statystyczne i jak jest jego historia?
• Jakie są techniki modelowania statystycznego?
• Jakie są rodzaje modeli statystycznych?
• Jakich narzędzi używa się w modelowaniu statystycznym?
• Jak stworzyć model statystyczny?
• Jakie są zastosowania modelowania statystycznego?

Modelowanie statystyczne – definicja i historia

Modelowanie statystyczne to proces wykorzystywania danych oraz statystyk do przewidywania zdarzeń, analizowania zależności i zrozumienia zjawisk. Wykorzystuje ono modele matematyczne, które opisują powiązania między zmiennymi oraz przyszłe wyniki możliwe na podstawie obserwowanych danych.

Już w XVII wieku Blaise Pascal i Pierre de Fermat stosowali elementy teorii prawdopodobieństwa do rozwiązywania problemów w hazardzie. W kolejnych wiekach, z rozwojem teorii błędów obserwacyjnych przez Carla Friedricha Gaussa i Adrien-Marie Legendre, pojawiły się metody takie jak metoda najmniejszych kwadratów, która do dziś jest jednym z najważniejszych narzędzi w statystyce^{[1] [2] [3] [4]}.

Modelowanie statystyczne to proces stosowania metod matematycznych do analizowania danych i wydobywania z nich użytecznych informacji oraz wzorców.

Definicja modelowania statystycznego

Rozwój technologii obliczeniowych oraz teorii statystycznych w XX wieku przyczynił się do szybkiego rozwoju modelowania statystycznego. Niebagatelną rolę odegrał w tym John Tukey, amerykański matematyk i statystyk, pionier analizy danych. W latach 70. XX wieku Wprowadził on pojęcie analizy eksploracyjnej danych (ang. Exploratory Data Analysis, EDA). Przeciwstawiał się rygorystycznemu skupieniu na statystycznych testach hipotez – zamiast tego, zaproponował bardziej elastyczne podejście, które pozwala na poszukiwanie danych w celu odkrycia struktur, anomalii i zależności niewidocznych na pierwszy rzut oka^[5].

Jego podejście do analizy eksploracyjnej danych skupiało się na wykorzystaniu prostych grafik i podsumowań statystycznych do formułowania i testowania hipotez na początkowych etapach analizy danych. Opracował także wiele technik i narzędzi graficznych, takich jak wykresy pudełkowe, które pozwalają szybko ocenić rozkład danych, ich skupienie, rozproszenie oraz potencjalne wartości odstające^[6].

Ponadto Tukey promował użycie prostych, niestandardowych narzędzi, które nazwał „szybkim i brudnym” przetwarzaniem danych (ang. quick and dirty data analysis), akcentując znaczenie wstępnych, orientacyjnych analiz, które mogą prowadzić do głębszego zrozumienia danych przed bardziej skomplikowaną analizą. Miał też znaczny wpływ na rozwój języka programowania R oraz pakietu statystycznego SAS^[7].

Podstawą współczesnego modelowania statystycznego jest statystyka inferencyjna, która pozwala na wnioskowanie o populacji na podstawie próbki danych, oraz statystyka opisowa, służąca do opisu właściwości zbiorów danych. Modelowanie to znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, od nauk przyrodniczych po ekonomię, a nawet w społecznym kontekście, pomagając przewidywać wszystko od wyników wyborów po dynamikę rynków finansowych.

Techniki modelowania statystycznego

Modelowanie statystyczne wykorzystuje różnorodne techniki; oto najczęściej stosowane:

• Regresja liniowa to jedna z najbardziej podstawowych i szeroko stosowanych technik w statystyce. Modeluje zależność pomiędzy jedną zmienną zależną a jedną lub więcej zmiennymi niezależnymi. Stosuje się ją, gdy oczekuje się, że zmienna zależna zmienia się liniowo w zależności od zmiennych niezależnych.
• Regresji logistycznej używa się, gdy zmienna zależna jest kategoryczna (zwykle binarna, na przykład tak/nie, sukces/porażka). Za jej pomocą można estymować prawdopodobieństwo wystąpienia jednej z kategorii w zależności od jednej lub więcej zmiennych niezależnych, stosując funkcję logistyczną.
• Analiza szeregów czasowych to technika analizy zestawów danych, które zawierają obserwacje sekwencyjne zarejestrowane w równych odstępach czasu. Pomaga identyfikować i wyjaśniać trendy, sezonowość oraz cykliczność danych.
• Analiza wariantowa (ANOVA) umożliwia porównanie średnich co najmniej trzech grup, aby ustalić, czy przynajmniej jedna z grup różni się istotnie od innych. Jest szczególnie użyteczna w eksperymentalnych badaniach, w których analizuje się wpływ różnych czynników (traktowanych jako niezależne zmienne) na zmienną zależną.
• Modelowanie regresji wielorakiej to rozszerzenie regresji liniowej, które pozwala na włączenie wielu zmiennych niezależnych do modelu.
• Analiza skupień (clustering) to nienadzorowana technika statystyczna, której celem jest grupowanie zestawu obiektów tak, aby obiekty w tej samym grupie były bardziej podobne do siebie niż do obiektów w innych grupach.
• Drzewa decyzyjne są narzędziem do prognozowania i klasyfikacji, które reprezentuje decyzje i ich możliwe konsekwencje, wyniki, koszty i prawdopodobieństwa.
• Analiza składowych głównych (PCA, Principal Component Analysis) jest techniką redukcji wymiarowości stosowaną do przekształcania wielowymiarowego zestawu danych w zestaw mniejszej liczby nieskorelowanych zmiennych, zwanych głównymi składowymi. Przydaje się to, gdy potrzebne jest uproszczenie danych z jednoczesnym zachowaniem jak największej ilości informacji.
• W modelach przetrwania analizuje się czas do wystąpienia pewnego zdarzenia, na przykład czas do wystąpienia awarii urządzenia lub czas życia pacjenta po diagnozie. Najczęściej używana metoda w tej klasie to model Coxa, który jest używany do modelowania ryzyka zdarzenia w czasie, biorąc pod uwagę jedną lub więcej zmiennych ryzyka.
• Analiza czynnikowa to technika stosowana do identyfikacji zmiennych latentnych, które wpływają na zestaw obserwowanych zmiennych. Pomaga w zrozumieniu struktury danych poprzez redukcję liczby zmiennych używanych do opisu danych na mniejszą liczbę nieobserwowanych zmiennych (czynników).
• Regresja grzbietowa i Lasso to techniki regularyzacji stosowane w modelowaniu statystycznym, szczególnie przydatne, gdy istnieje problem współliniowości między zmiennymi niezależnymi lub gdy liczba zmiennych przewyższa liczbę obserwacji.
  • Regresja grzbietowa minimalizuje sumę kwadratów reszt,   dodając do niej karę proporcjonalną do sumy kwadratów współczynników (L2 penalty).
  • Lasso działa podobnie, ale karze za sumę wartości bezwzględnych współczynników (L1 penalty), co może prowadzić do redukcji niektórych współczynników do zera, oferując jednocześnie selekcję cech.
• Sieci neuronowe i uczenie głębokie, choć kojarzone z uczeniem maszynowym, mogą być zaawansowaną formą modelowania statystycznego. Stosuje się je rozpoznawania wzorców i automatycznej klasyfikacji na podstawie dużych i złożonych zestawów danych.
• Wnioskowanie bayesowskie polega na stosowaniu teorii prawdopodobieństwa Bayesa do wnioskowania statystycznego. Pozwala to modelować złożone zależności oraz umożliwia aktualizowanie wniosków na podstawie nowo nabytych danych, co przydaje się, gdy dane są ograniczone lub niekompletne.

Rodzaje modeli statystycznych

Wyróżnia się następujące rodzaje modeli statystycznych:

• Modele liniowe to podstawowe narzędzia statystyki. Stosuje się je do modelowania zależności pomiędzy jedną zmienną zależną a jedną lub więcej zmiennymi niezależnymi. Są one najbardziej efektywne, gdy zależności między zmiennymi są proste i liniowe. Przykładem jest regresja liniowa.
• Modele nieliniowe wykorzystuje się, gdy zależności między zmiennymi nie są liniowe. Dają większą elastyczność w modelowaniu złożonych wzorców i zjawisk, które nie mogą być adekwatnie opisane przez modele liniowe.
• Modele szeregów czasowych specjalizują się w analizie danych zależnych od czasu. Są one niezbędne do modelowania danych, które wykazują trendy, sezonowość czy cykle.
• Modele kategoryczne, takie jak regresja logistyczna, wykorzystuje się do modelowania zmiennych zależnych, które są kategoryczne (takie jak „tak/nie” lub „zgoda/brak zgody”). Są one przydatne w sytuacjach, gdzie wynik jest dyskretny, a nie ciągły.
• Modele mieszane przydają się, gdy dane pochodzą z zagnieżdżonych lub hierarchicznych źródeł, takich jak pacjenci w różnych szpitalach czy uczniowie w różnych szkołach. Dzięki nim można oddzielić i jednocześnie modelować zarówno stałe, jak i losowe efekty.
• Modele bayesowskie bazują na teorii prawdopodobieństwa Thomasa Bayesa. Pozwalają na integrację wstępnej wiedzy eksperckiej z obserwowanymi danymi. Są elastyczne i sprawdzają się, gdy dane są niekompletne lub ograniczone.
• Modele regresji regularyzowane, takie jak regresja grzbietowa i Lasso, są używane do zapobiegania problemom ze zbyt dużą zmiennością w modelach z wieloma zmiennymi, poprzez wprowadzenie kary za zbyt duże wartości współczynników.

Narzędzia używane w modelowaniu statystycznym

Modelowanie statystyczne wykorzystuje różnorodne narzędzia, ale współcześnie zdecydowanie najważniejsze są dwa języki programowania – R i Python. R to język programowania i środowisko do obliczeń statystycznych popularne wśród statystyków i analityków danych ze względu szeroką gamę pakietów do prawie każdego typu analizy danych, od prostych obliczeń statystycznych po zaawansowane modelowanie statystyczne i uczenie maszynowe.

Z kolei Python zyskał popularność dzięki swojej prostocie i wszechstronności. Oferuje biblioteki takie jak Pandas do manipulacji danymi, NumPy do obliczeń numerycznych, SciPy dla metod naukowych, Matplotlib do tworzenia wykresów, oraz Scikit-learn do uczenia maszynowego i modelowania statystycznego.

W modelowaniu statystycznym korzysta się również z różnego rodzaju programów do analizy danych. Do najpopularniejszych zalicza się m.in.:

• SAS (Statistical Analysis System) jest szeroko stosowane w przemyśle, zwłaszcza w opiece zdrowotnej i finansach.
• SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) zaprojektowano pierwotnie do użytku w naukach społecznych, ale obecnie sprawdza się w wielu innych dziedzinach.
• Stata jest używana w ekonomii, socjologii, naukach politycznych, biomedycynie i epidemiologii.
• MATLAB to oprogramowanie matematyczne cenione za swoje możliwości w przetwarzaniu sygnałów, obliczeniach, algorytmach oraz tworzeniu interaktywnych interfejsów użytkownika. Sprawdza się w modelowaniu statystycznym, szczególnie tam, gdzie potrzebne są zaawansowane obliczenia i wizualizacje.

Poza wymienionymi programami w modelowaniu statystycznym stosuje się także popularny Microsoft Excel. Chociaż jest narzędziem biurowym, może być używany do prostych analiz statystycznych i modelowania. Z kolei do wizualizacji danych często wykorzystuje się Tableau. Choć samo w sobie nie jest ono narzędziem do modelowania statystycznego, jest często używane w połączeniu z innymi narzędziami do prezentacji wyników analiz statystycznych.

Tworzenie modelu statystycznego

Tworzenie modeli statystycznych zaczyna się od zdefiniowania i zrozumienia problemu badawczego. Pierwszym etapem jest zidentyfikowanie pytania lub hipotezy wymagającej analizy. Następnie badacze muszą zebrać dane do jej przetestowania – mogą one pochodzić z różnych źródeł, takich jak ankiety, eksperymenty lub istniejące bazy danych.

Kolejnym etapem jest wstępna obróbka i czyszczenie danych, co może obejmować usuwanie danych odstających, radzenie sobie z brakującymi wartościami czy transformację zmiennych. Po zakończeniu czyszczenia danych przeprowadza się eksploracyjną analizę danych (EDA), żeby zrozumieć ich rozkłady, zależności pomiędzy zmiennymi i potencjalne wzorce.

Na podstawie wstępnych obserwacji badacz wybiera model statystyczny, który będzie najlepiej pasował do danych i specyfiki badanego problemu. Wybór może zależeć od czynników, takich jak typ zmiennych, zależności między nimi oraz celu modelowania.

Następnie można przejść do estymacji parametrów modelu, do czego wykorzystuje się techniki statystyczne najlepiej dopasowane do cech charakterystycznych danych i modelu. Po dopasowaniu modelu należy jeszcze przeprowadzić jego diagnozę, czyli sprawdzić jego założenia, przeprowadzić analizę reszt oraz inne testy oceniające, czy model adekwatnie opisuje dane.

Gdy model jest już w pełni dopasowany i zweryfikowany, można przejść do analizy wyników. Obejmuje interpretację estymowanych parametrów, ocenę ich istotności statystycznej i omówienie, jak dobrze model pasuje do danych. W zależności od celu modelu może to również obejmować wykorzystanie modelu do przewidywania lub symulacji przyszłych danych. Ostatnim krokiem jest komunikacja wyników – najczęściej przybierają one formę case study, raportu, prezentacji czy artykułu naukowego, w którym przedstawia się metody, wyniki i wnioski.

Zastosowania modelowania statystycznego

Modelowanie statystyczne sprawdza się m.in. w naukach przyrodniczych, gdzie pomaga badaczom rozumieć złożone interakcje między różnymi czynnikami środowiskowymi i biologicznymi, co przydaje się np. w przewidywaniu skutków zmian klimatycznych czy wzorców migracji ptaków.

W medycynie modele statystyczne stosuje się w analizie wyników badań klinicznych. Dzięki nim można zidentyfikować skuteczne terapie i ocenić ryzyko wystąpienia chorób na podstawie genetycznych i środowiskowych czynników. Uzyskane wyniki pomagają także w personalizacji terapii.

Modelowanie statystyczne jest często stosowane w finansach i ekonomii, gdzie wykorzystuje się je m.in. do analizy ryzyka, przewidywania trendów rynkowych czy optymalizacji strategii inwestycyjnych. Analitycy rynkowi i bankowcy stosują modele statystyczne do oceny zdolności kredytowej, modelowania ryzyka portfelowego czy przewidywania koniunktury gospodarczej.

W marketingu przedsiębiorstwa wykorzystują modelowanie statystyczne do analizy preferencji konsumentów, optymalizacji kampanii reklamowych i przewidywania zachowań zakupowych. Dzięki temu mogą bardziej efektywnie docierać do swoich klientów i zwiększać efektywność działań marketingowych.